Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(- 5 n\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 5 n}{n + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{5 n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- 5 n\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} -5$$
=
$$\lim_{n \to \infty} -5$$
=
$$-5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)