Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (1+1/(7*x))^(4*x)
-
Expresiones idénticas
- ((ocho +x^ dos)/(uno +x^ dos))^x
- ((8 más x al cuadrado ) dividir por (1 más x al cuadrado )) en el grado x
- ((ocho más x en el grado dos) dividir por (uno más x en el grado dos)) en el grado x
- ((8+x2)/(1+x2))x
- 8+x2/1+x2x
- ((8+x²)/(1+x²))^x
- ((8+x en el grado 2)/(1+x en el grado 2)) en el grado x
- 8+x^2/1+x^2^x
- ((8+x^2) dividir por (1+x^2))^x
-
Expresiones semejantes
- ((8-x^2)/(1+x^2))^x
- ((8+x^2)/(1-x^2))^x
Límite de la función ((8+x^2)/(1+x^2))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ 2\
|8 + x |
lim |------|
x->oo| 2|
\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
Limit(((8 + x^2)/(1 + x^2))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right) + 7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + \frac{7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 1}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{7 u - 1}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- i} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- i} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{7 u - 1} + i}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{7 u - 1} + i}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}} = e^{\frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} + 1\right) + 7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + \frac{7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} + 1}{7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{7}{x^{2} + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{7 u - 1}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- i} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- i} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{7 u - 1} + i}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{7 u - 1} + i}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}} = e^{\frac{- \sqrt{7 u - 1} + i}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 8}{x^{2} + 1}\right)^{x} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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