Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- seis +x^ dos -x)/(nueve +x^ dos - seis *x)
- ( menos 6 más x al cuadrado menos x) dividir por (9 más x al cuadrado menos 6 multiplicar por x)
- ( menos seis más x en el grado dos menos x) dividir por (nueve más x en el grado dos menos seis multiplicar por x)
- (-6+x2-x)/(9+x2-6*x)
- -6+x2-x/9+x2-6*x
- (-6+x²-x)/(9+x²-6*x)
- (-6+x en el grado 2-x)/(9+x en el grado 2-6*x)
- (-6+x^2-x)/(9+x^2-6x)
- (-6+x2-x)/(9+x2-6x)
- -6+x2-x/9+x2-6x
- -6+x^2-x/9+x^2-6x
- (-6+x^2-x) dividir por (9+x^2-6*x)
-
Expresiones semejantes
- (-6+x^2-x)/(9+x^2+6*x)
- (-6+x^2+x)/(9+x^2-6*x)
- (-6-x^2-x)/(9+x^2-6*x)
- (6+x^2-x)/(9+x^2-6*x)
- (-6+x^2-x)/(9-x^2-6*x)
Límite de la función (-6+x^2-x)/(9+x^2-6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-6 + x - x |
lim |------------|
x->oo| 2 |
\9 + x - 6*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
Limit((-6 + x^2 - x)/(9 + x^2 - 6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 6 u^{2} - u + 1}{9 u^{2} - 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{- 0 - 6 \cdot 0^{2} + 1}{- 0 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 6 u^{2} - u + 1}{9 u^{2} - 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{- 0 - 6 \cdot 0^{2} + 1}{- 0 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - x - 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 6 x + 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6 x + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x - 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - x - 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 6 x + 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6 x + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x - 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|-6 + x - x |
lim |------------|
x->3+| 2 |
\9 + x - 6*x/
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
oo
$$\infty$$
= 756.0
/ 2 \
|-6 + x - x |
lim |------------|
x->3-| 2 |
\9 + x - 6*x/
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= -754.0
= -754.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left(x^{2} - 6\right)}{- 6 x + \left(x^{2} + 9\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico