Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right) \sqrt{x + 3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \sqrt{x + 3}}{x^{2} + \left(x + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) \sqrt{x + 3}}{x^{2} + x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right) \sqrt{x + 3}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2 \sqrt{x + 3}} + \sqrt{x + 3} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2 \sqrt{x + 3}} + \sqrt{x + 3} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}}{2 x + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)