Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 1} - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 10 x + 25\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x - 1} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 10 x + 25\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \left(2 x - 10\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 x - 10}}{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \sqrt{x - 1}}{\left(2 x - 10\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \sqrt{x - 1}}{\left(2 x - 10\right)^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)