Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos)-sqrt(x^ dos + nueve *x)
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado más 9 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos más nueve multiplicar por x)
- √(1+x^2)-√(x^2+9*x)
- sqrt(1+x2)-sqrt(x2+9*x)
- sqrt1+x2-sqrtx2+9*x
- sqrt(1+x²)-sqrt(x²+9*x)
- sqrt(1+x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2+9*x)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9x)
- sqrt(1+x2)-sqrt(x2+9x)
- sqrt1+x2-sqrtx2+9x
- sqrt1+x^2-sqrtx^2+9x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2-9*x)
- sqrt(1-x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(1+x^2)+sqrt(x^2+9*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(-7+4*x^4+13*x^2)-2*x^2
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(-7+4*x^4+13*x^2)-2*x^2
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ __________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x - \/ x + 9*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2) - sqrt(x^2 + 9*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 9 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 9 x\right) + \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 9 x}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 9 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 9 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{9}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{9}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u - 9}{\sqrt{9 u + 1} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-9}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0 \cdot 9 + 1}} = - \frac{9}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \frac{9}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 9 x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 9 x\right) + \left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 9 x}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + 9 x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 9 x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 9 x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{9}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-9 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{9}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u - 9}{\sqrt{9 u + 1} + \sqrt{u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-9}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0 \cdot 9 + 1}} = - \frac{9}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \frac{9}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \frac{9}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \sqrt{10} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \sqrt{10} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \sqrt{10} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = - \sqrt{10} + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 9 x}\right) = \frac{9}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico