Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(n+n^ dos)-n
- raíz cuadrada de (n más n al cuadrado ) menos n
- raíz cuadrada de (n más n en el grado dos) menos n
- √(n+n^2)-n
- sqrt(n+n2)-n
- sqrtn+n2-n
- sqrt(n+n²)-n
- sqrt(n+n en el grado 2)-n
- sqrtn+n^2-n
-
Expresiones semejantes
- sqrt(n-n^2)-n
- sqrt(n+n^2)+n
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(-7+4*x^4+13*x^2)-2*x^2
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función sqrt(n+n^2)-n
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ \
| / 2 |
lim \\/ n + n - n/
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
Limit(sqrt(n + n^2) - n, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$n + \sqrt{n^{2} + n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) \left(n + \sqrt{n^{2} + n}\right)}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + n}\right)^{2}}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{n^{2} + n}}{n}}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n^{2} + n}{n^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$n + \sqrt{n^{2} + n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) \left(n + \sqrt{n^{2} + n}\right)}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(\sqrt{n^{2} + n}\right)^{2}}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + \sqrt{n^{2} + n}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{n^{2} + n}}{n}}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n^{2} + n}{n^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- n + \sqrt{n^{2} + n}\right) = \infty$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico