Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(dos +x^ dos + cuatro *x)-sqrt(dos +x^ dos - dos *x)
- raíz cuadrada de (2 más x al cuadrado más 4 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (2 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (dos más x en el grado dos más cuatro multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (dos más x en el grado dos menos dos multiplicar por x)
- √(2+x^2+4*x)-√(2+x^2-2*x)
- sqrt(2+x2+4*x)-sqrt(2+x2-2*x)
- sqrt2+x2+4*x-sqrt2+x2-2*x
- sqrt(2+x²+4*x)-sqrt(2+x²-2*x)
- sqrt(2+x en el grado 2+4*x)-sqrt(2+x en el grado 2-2*x)
- sqrt(2+x^2+4x)-sqrt(2+x^2-2x)
- sqrt(2+x2+4x)-sqrt(2+x2-2x)
- sqrt2+x2+4x-sqrt2+x2-2x
- sqrt2+x^2+4x-sqrt2+x^2-2x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(2+x^2+4*x)+sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2-x^2-2*x)
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2+2*x)
- sqrt(2+x^2-4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(2-x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(-7+4*x^4+13*x^2)-2*x^2
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(-7+4*x^4+13*x^2)-2*x^2
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ ______________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 2 + x + 4*x - \/ 2 + x - 2*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Limit(sqrt(2 + x^2 + 4*x) - sqrt(2 + x^2 - 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) \left(\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + \left(- x^{2} - 2\right)\right) + \left(4 x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)}}{x} + \frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6}{\sqrt{2 u^{2} - 2 u + 1} + \sqrt{2 u^{2} + 4 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{6}{\sqrt{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) \left(\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)^{2}}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + \left(- x^{2} - 2\right)\right) + \left(4 x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\frac{\sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)}}{x} + \frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{\frac{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6}{\sqrt{2 u^{2} - 2 u + 1} + \sqrt{2 u^{2} + 4 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{6}{\sqrt{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- 2 x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 2\right)}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico