Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(uno +x))^(uno + tres *x)
- (x dividir por (1 más x)) en el grado (1 más 3 multiplicar por x)
- (x dividir por (uno más x)) en el grado (uno más tres multiplicar por x)
- (x/(1+x))(1+3*x)
- x/1+x1+3*x
- (x/(1+x))^(1+3x)
- (x/(1+x))(1+3x)
- x/1+x1+3x
- x/1+x^1+3x
- (x dividir por (1+x))^(1+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(1+x))^(1-3*x)
- (x/(1-x))^(1+3*x)
Límite de la función (x/(1+x))^(1+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 3*x
/ x \
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
Limit((x/(1 + x))^(1 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{3 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{3 x + 1} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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