Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + dos *x)/(seis +x^ cuatro - tres *x^ tres)
- (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por (6 más x en el grado 4 menos 3 multiplicar por x al cubo )
- (x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por (seis más x en el grado cuatro menos tres multiplicar por x en el grado tres)
- (x2+2*x)/(6+x4-3*x3)
- x2+2*x/6+x4-3*x3
- (x²+2*x)/(6+x⁴-3*x³)
- (x en el grado 2+2*x)/(6+x en el grado 4-3*x en el grado 3)
- (x^2+2x)/(6+x^4-3x^3)
- (x2+2x)/(6+x4-3x3)
- x2+2x/6+x4-3x3
- x^2+2x/6+x^4-3x^3
- (x^2+2*x) dividir por (6+x^4-3*x^3)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+2*x)/(6-x^4-3*x^3)
- (x^2-2*x)/(6+x^4-3*x^3)
- (x^2+2*x)/(6+x^4+3*x^3)
Límite de la función (x^2+2*x)/(6+x^4-3*x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x + 2*x |
lim |-------------|
x->oo| 4 3|
\6 + x - 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$
Limit((x^2 + 2*x)/(6 + x^4 - 3*x^3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{3} + u^{2}}{6 u^{4} - 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 2 \cdot 0^{3}}{- 0 + 6 \cdot 0^{4} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{6}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{3} + u^{2}}{6 u^{4} - 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 2 \cdot 0^{3}}{- 0 + 6 \cdot 0^{4} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 3 x^{3} + 6\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{x^{4} - 3 x^{3} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 3 x^{3} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{4 x^{3} - 9 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 9 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{12 x^{2} - 18 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{12 x^{2} - 18 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 3 x^{3} + 6\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 2\right)}{x^{4} - 3 x^{3} + 6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 3 x^{3} + 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{4 x^{3} - 9 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 9 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{12 x^{2} - 18 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{12 x^{2} - 18 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{- 3 x^{3} + \left(x^{4} + 6\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo