Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7^{- n + x + 1} \left(x + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7^{- n} 7^{x + 1} \left(x + 2\right)}{x + 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7^{- n} 7^{x + 1} \left(x + 2\right)}{x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} 7^{- n + x + 1} \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 \cdot 7^{- n} 7^{x} x \log{\left(7 \right)} + 7 \cdot 7^{- n} 7^{x} + 14 \cdot 7^{- n} 7^{x} \log{\left(7 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 \cdot 7^{- n} 7^{x} x \log{\left(7 \right)} + 7 \cdot 7^{- n} 7^{x} + 14 \cdot 7^{- n} 7^{x} \log{\left(7 \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)