Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x - 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x^{2} + \left(9 x + \left(7 x^{3} + 1\right)\right)}{6 x^{2} + \left(5 x^{4} + \left(- 3 x - 4\right)\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1}{5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3 x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{21 x^{2} + 30 x + 9}{20 x^{3} + 12 x - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(21 x^{2} + 30 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 12 x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{42 x + 30}{60 x^{2} + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(42 x + 30\right)}{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7}{20 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7}{20 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)