Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((3+x+x^2)/(3+2*x^2))^((-1+sqrt(9+5*x))/(-2+sqrt(4+x)))
-
Límite de (-3+4*x^2+11*x)/(-3+x^2+2*x)
-
Límite de (-asin(x)+2*x)/(2*x+atan(x))
-
Límite de (5-11*x+2*x^2)/(10+x^2-7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(- dos +x))^(dos + dos *x)
- ((2 más x) dividir por ( menos 2 más x)) en el grado (2 más 2 multiplicar por x)
- ((dos más x) dividir por ( menos dos más x)) en el grado (dos más dos multiplicar por x)
- ((2+x)/(-2+x))(2+2*x)
- 2+x/-2+x2+2*x
- ((2+x)/(-2+x))^(2+2x)
- ((2+x)/(-2+x))(2+2x)
- 2+x/-2+x2+2x
- 2+x/-2+x^2+2x
- ((2+x) dividir por (-2+x))^(2+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(-2-x))^(2+2*x)
- ((2-x)/(-2+x))^(2+2*x)
- ((2+x)/(2+x))^(2+2*x)
- ((2+x)/(-2+x))^(2-2*x)
Límite de la función ((2+x)/(-2+x))^(2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + 2*x
/2 + x \
lim |------|
x->oo\-2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
Limit(((2 + x)/(-2 + x))^(2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 2\right) + 4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 2}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u + 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{8} = e^{8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = e^{8}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 2\right) + 4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 2}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{2 x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u + 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{8} = e^{8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = e^{8}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = e^{8}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 81$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 81$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = e^{8}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 81$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = 81$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{2 x + 2} = e^{8}$$
Más detalles con x→-oo