Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + nueve *x)/(- dos + nueve *x))^(cuatro +x)
- ((3 más 9 multiplicar por x) dividir por ( menos 2 más 9 multiplicar por x)) en el grado (4 más x)
- ((tres más nueve multiplicar por x) dividir por ( menos dos más nueve multiplicar por x)) en el grado (cuatro más x)
- ((3+9*x)/(-2+9*x))(4+x)
- 3+9*x/-2+9*x4+x
- ((3+9x)/(-2+9x))^(4+x)
- ((3+9x)/(-2+9x))(4+x)
- 3+9x/-2+9x4+x
- 3+9x/-2+9x^4+x
- ((3+9*x) dividir por (-2+9*x))^(4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+9*x)/(2+9*x))^(4+x)
- ((3-9*x)/(-2+9*x))^(4+x)
- ((3+9*x)/(-2-9*x))^(4+x)
- ((3+9*x)/(-2+9*x))^(4-x)
Límite de la función ((3+9*x)/(-2+9*x))^(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + x
/3 + 9*x \
lim |--------|
x->oo\-2 + 9*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
Limit(((3 + 9*x)/(-2 + 9*x))^(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x - 2\right) + 5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x - 2} + \frac{5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x - 2}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9} + \frac{38}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{38}{9}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{38}{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{9}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{9}} = e^{\frac{5}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = e^{\frac{5}{9}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x - 2\right) + 5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x - 2} + \frac{5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x - 2}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{9 x - 2}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9} + \frac{38}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{38}{9}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{38}{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{9}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{9}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{9}} = e^{\frac{5}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = e^{\frac{5}{9}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = e^{\frac{5}{9}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{81}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{81}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{248832}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{248832}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = e^{\frac{5}{9}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{81}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{81}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{248832}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = \frac{248832}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x - 2}\right)^{x + 4} = e^{\frac{5}{9}}$$
Más detalles con x→-oo