Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} - x^{2} + 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{4} - x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(6 - x^{2}\right)}{2 x^{4} + \left(2 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} - x^{2} + 6}{2 x^{4} - x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} - x^{2} + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{4} - x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} - 2 x}{8 x^{3} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{3} - 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{36 x^{2} - 2}{24 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(36 x^{2} - 2\right)}{\frac{d}{d x} 24 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)