Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (cuatro +x)^ tres /(tres +x)^ tres
- (4 más x) al cubo dividir por (3 más x) al cubo
- (cuatro más x) en el grado tres dividir por (tres más x) en el grado tres
- (4+x)3/(3+x)3
- 4+x3/3+x3
- (4+x)³/(3+x)³
- (4+x) en el grado 3/(3+x) en el grado 3
- 4+x^3/3+x^3
- (4+x)^3 dividir por (3+x)^3
-
Expresiones semejantes
- (4-x)^3/(3+x)^3
- (4+x)^3/(3-x)^3
Límite de la función (4+x)^3/(3+x)^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
|(4 + x) |
lim |--------|
x->oo| 3|
\(3 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
Limit((4 + x)^3/(3 + x)^3, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} + \frac{48}{x^{2}} + \frac{64}{x^{3}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} + \frac{48}{x^{2}} + \frac{64}{x^{3}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{64 u^{3} + 48 u^{2} + 12 u + 1}{27 u^{3} + 27 u^{2} + 9 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 12 + 48 \cdot 0^{2} + 64 \cdot 0^{3} + 1}{0 \cdot 9 + 27 \cdot 0^{2} + 27 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} + \frac{48}{x^{2}} + \frac{64}{x^{3}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} + \frac{48}{x^{2}} + \frac{64}{x^{3}}}{1 + \frac{9}{x} + \frac{27}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{64 u^{3} + 48 u^{2} + 12 u + 1}{27 u^{3} + 27 u^{2} + 9 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 12 + 48 \cdot 0^{2} + 64 \cdot 0^{3} + 1}{0 \cdot 9 + 27 \cdot 0^{2} + 27 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{3 x^{2} + 18 x + 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{3 x^{2} + 18 x + 27}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{3 x^{2} + 18 x + 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{3 x^{2} + 18 x + 27}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{64}{27}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{64}{27}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{125}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{125}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{64}{27}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{64}{27}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{125}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \frac{125}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 4\right)^{3}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo