Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno + tres /x)^(- tres +x)
- (1 más 3 dividir por x) en el grado ( menos 3 más x)
- (uno más tres dividir por x) en el grado ( menos tres más x)
- (1+3/x)(-3+x)
- 1+3/x-3+x
- 1+3/x^-3+x
- (1+3 dividir por x)^(-3+x)
-
Expresiones semejantes
- (1+3/x)^(3+x)
- (1-3/x)^(-3+x)
- (1+3/x)^(-3-x)
Límite de la función (1+3/x)^(-3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-3 + x
/ 3\
lim |1 + -|
x->oo\ x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3}$$
Limit((1 + 3/x)^(-3 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = e^{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x - 3} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo