Sr Examen

Otras calculadoras:


(1+5*x^2)^(x^(-2))

Límite de la función (1+5*x^2)^(x^(-2))

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
               1 
               --
                2
               x 
     /       2\  
 lim \1 + 5*x /  
x->0+            
$$\lim_{x \to 0^+} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$$
Limit((1 + 5*x^2)^(x^(-2)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{5 x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{5}{\frac{1}{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = e^{5}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
               1 
               --
                2
               x 
     /       2\  
 lim \1 + 5*x /  
x->0+            
$$\lim_{x \to 0^+} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$$
 5
e 
$$e^{5}$$
= 148.413159102577
               1 
               --
                2
               x 
     /       2\  
 lim \1 + 5*x /  
x->0-            
$$\lim_{x \to 0^-} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$$
 5
e 
$$e^{5}$$
= 148.413159102577
= 148.413159102577
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = e^{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = 6$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = 6$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(5 x^{2} + 1\right)^{\frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
 5
e 
$$e^{5}$$
Respuesta numérica [src]
148.413159102577
148.413159102577
Gráfico
Límite de la función (1+5*x^2)^(x^(-2))