Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (x/(uno +x))^(- tres *x)
- (x dividir por (1 más x)) en el grado ( menos 3 multiplicar por x)
- (x dividir por (uno más x)) en el grado ( menos tres multiplicar por x)
- (x/(1+x))(-3*x)
- x/1+x-3*x
- (x/(1+x))^(-3x)
- (x/(1+x))(-3x)
- x/1+x-3x
- x/1+x^-3x
- (x dividir por (1+x))^(-3*x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(1+x))^(3*x)
- (x/(1-x))^(-3*x)
Límite de la función (x/(1+x))^(-3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-3*x
/ x \
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
Limit((x/(1 + x))^(-3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{- 3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = e^{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = e^{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{- 3 x} = e^{3}$$
Más detalles con x→-oo