Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -4^+}\left(- x \log{\left(x + 5 \right)} + x + 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{x \log{\left(x + 5 \right)}}{2} + 2 \log{\left(x + 5 \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -4^+}\left(- \frac{2 x}{x + 4} + \frac{2}{\log{\left(x + 5 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 \left(- x \log{\left(x + 5 \right)} + x + 4\right)}{\left(x + 4\right) \log{\left(x + 5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \log{\left(x + 5 \right)} + x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x \log{\left(x + 5 \right)}}{2} + 2 \log{\left(x + 5 \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{- \frac{x}{x + 5} - \log{\left(x + 5 \right)} + 1}{\frac{x}{2 \left(x + 5\right)} + \frac{\log{\left(x + 5 \right)}}{2} + \frac{2}{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{- \frac{x}{x + 5} - \log{\left(x + 5 \right)} + 1}{\frac{x}{2 \left(x + 5\right)} + \frac{\log{\left(x + 5 \right)}}{2} + \frac{2}{x + 5}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)