Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Límite de -cos(x)^3+x*tan(3*x)/cos(x)
-
Límite de (x+3^x)^(1/x)
- Límite de 0^x
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ dos + tres *x^ cuatro)/(x^ dos + cuatro *x)
- ( menos 1 más x al cuadrado más 3 multiplicar por x en el grado 4) dividir por (x al cuadrado más 4 multiplicar por x)
- ( menos uno más x en el grado dos más tres multiplicar por x en el grado cuatro) dividir por (x en el grado dos más cuatro multiplicar por x)
- (-1+x2+3*x4)/(x2+4*x)
- -1+x2+3*x4/x2+4*x
- (-1+x²+3*x⁴)/(x²+4*x)
- (-1+x en el grado 2+3*x en el grado 4)/(x en el grado 2+4*x)
- (-1+x^2+3x^4)/(x^2+4x)
- (-1+x2+3x4)/(x2+4x)
- -1+x2+3x4/x2+4x
- -1+x^2+3x^4/x^2+4x
- (-1+x^2+3*x^4) dividir por (x^2+4*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1-x^2+3*x^4)/(x^2+4*x)
- (-1+x^2+3*x^4)/(x^2-4*x)
- (1+x^2+3*x^4)/(x^2+4*x)
- (-1+x^2-3*x^4)/(x^2+4*x)
Límite de la función (-1+x^2+3*x^4)/(x^2+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 4\
|-1 + x + 3*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ x + 4*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$
Limit((-1 + x^2 + 3*x^4)/(x^2 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u^{4} + u^{2} + 3}{4 u^{3} + u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0^{4} + 3}{0^{2} + 4 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u^{4} + u^{2} + 3}{4 u^{3} + u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 0^{4} + 3}{0^{2} + 4 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} + x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + x^{2} - 1}{x \left(x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 2 x}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{3} + 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(18 x^{2} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(18 x^{2} + 1\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} + x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 4 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + x^{2} - 1}{x \left(x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{3} + 2 x}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{3} + 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(18 x^{2} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(18 x^{2} + 1\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 4 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo