Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(9 x^{2} + 17 x - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(x^{2} + 2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{17 x + \left(9 x^{2} - 2\right)}{x^{2} + 2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{9 x^{2} + 17 x - 2}{x \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} + 17 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{18 x + 17}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{18 x + 17}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\frac{19}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)