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Límite de la función/ 1+1/x/ (1+1/x)^x

Límite de la función (1+1/x)^x

Ha introducido [src]

            x
     /    1\ 
 lim |1 + -| 
x->oo\    x/

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}

Limit((1 + 1/x)^x, x, oo, dir='-')

Solución detallada

Tomamos como el límite

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}

cambiamos
hacemos el cambio

u = \frac{x}{1}

entonces

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}

=
=

\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}

\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}

\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)

El límite

\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}

hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces

\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e

Entonces la respuesta definitiva es:

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

Método de l'Hopital

En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo

Gráfica

Trazar el gráfico

A la izquierda y a la derecha [src]

            x
     /    1\ 
 lim |1 + -| 
x->2+\    x/

\lim_{x \to 2^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}

9/4

\frac{9}{4}

= 2.25

            x
     /    1\ 
 lim |1 + -| 
x->2-\    x/

\lim_{x \to 2^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}

9/4

\frac{9}{4}

= 2.25

= 2.25

Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 1

\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 1

\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 2

\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 2

\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

Respuesta rápida [src]

e

Abrir y simplificar

Respuesta numérica [src]

2.25

2.25

Gráfico