Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(5 n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{- n} 5^{n}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{n} 5^{- n} \left(5 n + 3\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{n} 5^{- n} \left(5 n + 3\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(5 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} 4^{- n} 5^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{- 2 \cdot 4^{- n} 5^{n} \log{\left(2 \right)} + 4^{- n} 5^{n} \log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{- 2 \cdot 4^{- n} 5^{n} \log{\left(2 \right)} + 4^{- n} 5^{n} \log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)