Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - 2 x\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} - x + 2\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 2 x}{- x^{2} + \left(2 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(1 - x\right)}{- x^{2} - x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 - 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} - x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{- 2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2}{- 2 x - 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)