Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno + dos *x/ tres)^(dos /(tres *x))
- (1 más 2 multiplicar por x dividir por 3) en el grado (2 dividir por (3 multiplicar por x))
- (uno más dos multiplicar por x dividir por tres) en el grado (dos dividir por (tres multiplicar por x))
- (1+2*x/3)(2/(3*x))
- 1+2*x/32/3*x
- (1+2x/3)^(2/(3x))
- (1+2x/3)(2/(3x))
- 1+2x/32/3x
- 1+2x/3^2/3x
- (1+2*x dividir por 3)^(2 dividir por (3*x))
-
Expresiones semejantes
- (1-2*x/3)^(2/(3*x))
Límite de la función (1+2*x/3)^(2/(3*x))
Solución
Ha introducido
[src]
2
---
3*x
/ 2*x\
lim |1 + ---|
x->0+\ 3 /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}}$$
Limit((1 + (2*x)/3)^(2/((3*x))), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{\frac{2}{3} x}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{3 \frac{1}{x}}\right)^{\frac{2}{3 x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{9}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{9}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{9}} = e^{\frac{4}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = e^{\frac{4}{9}}$$
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{\frac{2}{3} x}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{3 \frac{1}{x}}\right)^{\frac{2}{3 x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{9}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{9}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{9}} = e^{\frac{4}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = e^{\frac{4}{9}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
2
---
3*x
/ 2*x\
lim |1 + ---|
x->0+\ 3 /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}}$$
4/9 e
$$e^{\frac{4}{9}}$$
= 1.55962349760678
2
---
3*x
/ 2*x\
lim |1 + ---|
x->0-\ 3 /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}}$$
4/9 e
$$e^{\frac{4}{9}}$$
= 1.55962349760678
= 1.55962349760678
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = e^{\frac{4}{9}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = e^{\frac{4}{9}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = e^{\frac{4}{9}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x}{3} + 1\right)^{\frac{2}{3 x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico