Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/x)^(x/ seis)
- ((3 más x) dividir por x) en el grado (x dividir por 6)
- ((tres más x) dividir por x) en el grado (x dividir por seis)
- ((3+x)/x)(x/6)
- 3+x/xx/6
- 3+x/x^x/6
- ((3+x) dividir por x)^(x dividir por 6)
-
Expresiones semejantes
- ((3-x)/x)^(x/6)
Límite de la función ((3+x)/x)^(x/6)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
6
/3 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
Limit(((3 + x)/x)^(x/6), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{6}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{\frac{x}{6}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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