Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (sqrt(2-x)-sqrt(6+x))/(-6+x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- ((- dos + tres *x)/(cinco + tres *x))^(x/ dos)
- (( menos 2 más 3 multiplicar por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)) en el grado (x dividir por 2)
- (( menos dos más tres multiplicar por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)) en el grado (x dividir por dos)
- ((-2+3*x)/(5+3*x))(x/2)
- -2+3*x/5+3*xx/2
- ((-2+3x)/(5+3x))^(x/2)
- ((-2+3x)/(5+3x))(x/2)
- -2+3x/5+3xx/2
- -2+3x/5+3x^x/2
- ((-2+3*x) dividir por (5+3*x))^(x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((-2+3*x)/(5-3*x))^(x/2)
- ((2+3*x)/(5+3*x))^(x/2)
- ((-2-3*x)/(5+3*x))^(x/2)
Límite de la función ((-2+3*x)/(5+3*x))^(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
2
/-2 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\5 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
Limit(((-2 + 3*x)/(5 + 3*x))^(x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 7}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6} - \frac{5}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{6}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{6}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 7}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6} - \frac{5}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{7 u}{6}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{6}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{7}{6}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{7}{6}}$$
Más detalles con x→-oo