Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de (-cos(x)+sin(x))/(1-tan(x))
-
Expresiones idénticas
- ((uno + cuatro *n)/(siete + cuatro *n))^(cinco + dos *n)
- ((1 más 4 multiplicar por n) dividir por (7 más 4 multiplicar por n)) en el grado (5 más 2 multiplicar por n)
- ((uno más cuatro multiplicar por n) dividir por (siete más cuatro multiplicar por n)) en el grado (cinco más dos multiplicar por n)
- ((1+4*n)/(7+4*n))(5+2*n)
- 1+4*n/7+4*n5+2*n
- ((1+4n)/(7+4n))^(5+2n)
- ((1+4n)/(7+4n))(5+2n)
- 1+4n/7+4n5+2n
- 1+4n/7+4n^5+2n
- ((1+4*n) dividir por (7+4*n))^(5+2*n)
-
Expresiones semejantes
- ((1-4*n)/(7+4*n))^(5+2*n)
- ((1+4*n)/(7+4*n))^(5-2*n)
- ((1+4*n)/(7-4*n))^(5+2*n)
Límite de la función ((1+4*n)/(7+4*n))^(5+2*n)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + 2*n
/1 + 4*n\
lim |-------|
n->oo\7 + 4*n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
Limit(((1 + 4*n)/(7 + 4*n))^(5 + 2*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(4 n + 7\right) - 6}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{6}{4 n + 7} + \frac{4 n + 7}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{6}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 n + 7}{-6}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{6}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2} - 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = e^{-3}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(4 n + 7\right) - 6}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{6}{4 n + 7} + \frac{4 n + 7}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{6}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 n + 7}{-6}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{6}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2} - 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = e^{-3}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{1}{16807}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{1}{16807}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{78125}{19487171}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{78125}{19487171}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = e^{-3}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{1}{16807}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{1}{16807}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{78125}{19487171}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = \frac{78125}{19487171}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{4 n + 1}{4 n + 7}\right)^{2 n + 5} = e^{-3}$$
Más detalles con n→-oo