Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((5+x^2-6*x)/(5+x^2-5*x))^(2+3*x)
-
Límite de (-16+x^2+6*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Límite de (-4+x^2)/(-1-4*x^2+2*x+3*x^3)
-
Límite de (-16+x^2)/((5-x)^(1/3)-(-3+x)^(1/3))
-
Expresiones idénticas
- (uno +n)*log((uno + uno /n)^n)/log((dos + tres *n)*(tres + tres *n))
- (1 más n) multiplicar por logaritmo de ((1 más 1 dividir por n) en el grado n) dividir por logaritmo de ((2 más 3 multiplicar por n) multiplicar por (3 más 3 multiplicar por n))
- (uno más n) multiplicar por logaritmo de ((uno más uno dividir por n) en el grado n) dividir por logaritmo de ((dos más tres multiplicar por n) multiplicar por (tres más tres multiplicar por n))
- (1+n)*log((1+1/n)n)/log((2+3*n)*(3+3*n))
- 1+n*log1+1/nn/log2+3*n*3+3*n
- (1+n)log((1+1/n)^n)/log((2+3n)(3+3n))
- (1+n)log((1+1/n)n)/log((2+3n)(3+3n))
- 1+nlog1+1/nn/log2+3n3+3n
- 1+nlog1+1/n^n/log2+3n3+3n
- (1+n)*log((1+1 dividir por n)^n) dividir por log((2+3*n)*(3+3*n))
-
Expresiones semejantes
- (1+n)*log((1+1/n)^n)/log((2+3*n)*(3-3*n))
- (1+n)*log((1+1/n)^n)/log((2-3*n)*(3+3*n))
- (1-n)*log((1+1/n)^n)/log((2+3*n)*(3+3*n))
- (1+n)*log((1-1/n)^n)/log((2+3*n)*(3+3*n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(2+2*cos(x))*sin(x)/2
- log(-1+3^cos(x))/(2*x+atan(3*x))
- log(cos(x)+sin(x))/x
- log(2+6*e^x+x*e^2)
- log(10)^2*(-1+x)*(-1+x^2)
- Logaritmo log
- log(2+2*cos(x))*sin(x)/2
- log(-1+3^cos(x))/(2*x+atan(3*x))
- log(cos(x)+sin(x))/x
- log(2+6*e^x+x*e^2)
- log(10)^2*(-1+x)*(-1+x^2)
Límite de la función (1+n)*log((1+1/n)^n)/log((2+3*n)*(3+3*n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / n\ \
| |/ 1\ | |
| (1 + n)*log||1 + -| | |
| \\ n/ / |
lim |------------------------|
n->oo\log((2 + 3*n)*(3 + 3*n))/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right)$$
Limit(((1 + n)*log((1 + 1/n)^n))/log((2 + 3*n)*(3 + 3*n)), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 1\right) \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right) \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}}{\frac{d}{d n} \log{\left(3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \left(\left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} + \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}\right) + \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}\right)}{18 n + 15}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right)}{18 n + 15}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} + \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}\right) + \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} + \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}\right) + \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}\right)^{2} \left(- \frac{54 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right)}{\left(18 n + 15\right)^{2}} + \frac{9 \left(n + 1\right)}{18 n + 15} + \frac{3 \left(3 n + 2\right)}{18 n + 15}\right)}{- \frac{2 n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} - \left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(- \frac{2}{n^{2}} + \frac{2 \left(n + 1\right)}{n^{3}}\right)}{n + 1} - \frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{3 n \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1}\right) - 2 \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{162 n^{2}}{324 n^{2} + 540 n + 225} - \frac{270 n}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{18 n}{18 n + 15} - \frac{108}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{15}{18 n + 15}}{- \frac{n}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{n}{n^{2} + n} - 2 \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + n} + \frac{2}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{162 n^{2}}{324 n^{2} + 540 n + 225} - \frac{270 n}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{18 n}{18 n + 15} - \frac{108}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{15}{18 n + 15}}{- \frac{n}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{n}{n^{2} + n} - 2 \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + n} + \frac{2}{n + 1}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n + 1\right) \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right) \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}}{\frac{d}{d n} \log{\left(3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right) \left(\left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} + \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}\right) + \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}\right)}{18 n + 15}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{3 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right)}{18 n + 15}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} + \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}\right) + \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} + \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}\right) + \log{\left(\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} \right)}\right)^{2} \left(- \frac{54 \left(n + 1\right) \left(3 n + 2\right)}{\left(18 n + 15\right)^{2}} + \frac{9 \left(n + 1\right)}{18 n + 15} + \frac{3 \left(3 n + 2\right)}{18 n + 15}\right)}{- \frac{2 n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1} - \left(n + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(- \frac{2}{n^{2}} + \frac{2 \left(n + 1\right)}{n^{3}}\right)}{n + 1} - \frac{n^{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{3 n \left(\frac{1}{n} - \frac{n + 1}{n^{2}}\right)}{n + 1}\right) - 2 \log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{162 n^{2}}{324 n^{2} + 540 n + 225} - \frac{270 n}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{18 n}{18 n + 15} - \frac{108}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{15}{18 n + 15}}{- \frac{n}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{n}{n^{2} + n} - 2 \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + n} + \frac{2}{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{162 n^{2}}{324 n^{2} + 540 n + 225} - \frac{270 n}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{18 n}{18 n + 15} - \frac{108}{324 n^{2} + 540 n + 225} + \frac{15}{18 n + 15}}{- \frac{n}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{n}{n^{2} + n} - 2 \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)} - \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} + \frac{1}{n^{2} + n} + \frac{2}{n + 1}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(30 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(30 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(30 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(30 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \log{\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \right)}}{\log{\left(\left(3 n + 2\right) \left(3 n + 3\right) \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo