Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- cuatro ^(uno /x)+ cinco *x^ dos /(uno -x^ dos)
- 4 en el grado (1 dividir por x) más 5 multiplicar por x al cuadrado dividir por (1 menos x al cuadrado )
- cuatro en el grado (uno dividir por x) más cinco multiplicar por x en el grado dos dividir por (uno menos x en el grado dos)
- 4(1/x)+5*x2/(1-x2)
- 41/x+5*x2/1-x2
- 4^(1/x)+5*x²/(1-x²)
- 4 en el grado (1/x)+5*x en el grado 2/(1-x en el grado 2)
- 4^(1/x)+5x^2/(1-x^2)
- 4(1/x)+5x2/(1-x2)
- 41/x+5x2/1-x2
- 4^1/x+5x^2/1-x^2
- 4^(1 dividir por x)+5*x^2 dividir por (1-x^2)
-
Expresiones semejantes
- 4^(1/x)-5*x^2/(1-x^2)
- 4^(1/x)+5*x^2/(1+x^2)
Límite de la función 4^(1/x)+5*x^2/(1-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|x ___ 5*x |
lim |\/ 4 + ------|
x->oo| 2|
\ 1 - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)$$
Limit(4^(1/x) + (5*x^2)/(1 - x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4^{\frac{1}{x}} x^{2} + 4^{\frac{1}{x}} + 5 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - x^{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{\frac{1}{x}} \left(1 - x^{2}\right) + 5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4^{\frac{1}{x}} x^{2} + 4^{\frac{1}{x}} + 5 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} x + 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2}} + 10 x}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} x + 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2}} + 10 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{4}} - 5\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{4}} - 5\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4^{\frac{1}{x}} x^{2} + 4^{\frac{1}{x}} + 5 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - x^{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{\frac{1}{x}} \left(1 - x^{2}\right) + 5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4^{\frac{1}{x}} x^{2} + 4^{\frac{1}{x}} + 5 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} x + 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2}} + 10 x}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} x + 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2}} + 10 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{4}} - 5\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{4}} - 5\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = -4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = -4$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4^{\frac{1}{x}} + \frac{5 x^{2}}{1 - x^{2}}\right) = -4$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico