Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres *(- uno +(uno + tres /x^ tres)^(uno / tres))
- x al cubo multiplicar por ( menos 1 más (1 más 3 dividir por x al cubo ) en el grado (1 dividir por 3))
- x en el grado tres multiplicar por ( menos uno más (uno más tres dividir por x en el grado tres) en el grado (uno dividir por tres))
- x3*(-1+(1+3/x3)(1/3))
- x3*-1+1+3/x31/3
- x³*(-1+(1+3/x³)^(1/3))
- x en el grado 3*(-1+(1+3/x en el grado 3) en el grado (1/3))
- x^3(-1+(1+3/x^3)^(1/3))
- x3(-1+(1+3/x3)(1/3))
- x3-1+1+3/x31/3
- x^3-1+1+3/x^3^1/3
- x^3*(-1+(1+3 dividir por x^3)^(1 dividir por 3))
-
Expresiones semejantes
- x^3*(-1-(1+3/x^3)^(1/3))
- x^3*(1+(1+3/x^3)^(1/3))
- x^3*(-1+(1-3/x^3)^(1/3))
Límite de la función x^3*(-1+(1+3/x^3)^(1/3))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / ________\\
| 3 | / 3 ||
lim |x *|-1 + / 1 + -- ||
x->oo| | 3 / 3 ||
\ \ \/ x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right)$$
Limit(x^3*(-1 + (1 + 3/x^3)^(1/3)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \left(x^{3} + 3\right) \left(\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1\right)^{2}}{x \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} \left(\frac{1}{x} - \frac{x^{3} + 3}{x^{4}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(3 x^{3} \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 6 x^{3} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 3 x^{3} + 9 \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 18 \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 9\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(3 x^{3} \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 6 x^{3} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 3 x^{3} + 9 \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 18 \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 9\right)}{3}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{3 \left(x^{3} + 3\right) \left(\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} - 1\right)^{2}}{x \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3}{x^{3}}} \left(\frac{1}{x} - \frac{x^{3} + 3}{x^{4}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(3 x^{3} \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 6 x^{3} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 3 x^{3} + 9 \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 18 \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 9\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(3 x^{3} \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 6 x^{3} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 3 x^{3} + 9 \left(1 + \frac{3}{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} - 18 \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} + 9\right)}{3}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = -1 + 2^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = -1 + 2^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = -1 + 2^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = -1 + 2^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \left(\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{3}}} - 1\right)\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo