Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x + 2 \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x + 3 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(x + 3 \right)}}{\operatorname{acot}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x + 2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x + 3 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x + 3\right)^{2} + 1\right) \operatorname{acot}^{2}{\left(x + 3 \right)}}{\left(\left(x + 2\right)^{2} + 1\right) \operatorname{acot}^{2}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x + 3\right)^{2} + 1\right) \operatorname{acot}^{2}{\left(x + 3 \right)}}{\left(\left(x + 2\right)^{2} + 1\right) \operatorname{acot}^{2}{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)