Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + tres *x)/(dos + tres *x))^(- cuatro + dos *x)
- ((4 más 3 multiplicar por x) dividir por (2 más 3 multiplicar por x)) en el grado ( menos 4 más 2 multiplicar por x)
- ((cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (dos más tres multiplicar por x)) en el grado ( menos cuatro más dos multiplicar por x)
- ((4+3*x)/(2+3*x))(-4+2*x)
- 4+3*x/2+3*x-4+2*x
- ((4+3x)/(2+3x))^(-4+2x)
- ((4+3x)/(2+3x))(-4+2x)
- 4+3x/2+3x-4+2x
- 4+3x/2+3x^-4+2x
- ((4+3*x) dividir por (2+3*x))^(-4+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4+3*x)/(2-3*x))^(-4+2*x)
- ((4+3*x)/(2+3*x))^(-4-2*x)
- ((4-3*x)/(2+3*x))^(-4+2*x)
- ((4+3*x)/(2+3*x))^(4+2*x)
Límite de la función ((4+3*x)/(2+3*x))^(-4+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-4 + 2*x
/4 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\2 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
Limit(((4 + 3*x)/(2 + 3*x))^(-4 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) + 2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x + 2} + \frac{2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3} - \frac{16}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{16}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{16}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = e^{\frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) + 2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x + 2} + \frac{2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3} - \frac{16}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{16}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{16}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = e^{\frac{4}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = e^{\frac{4}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{25}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{25}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = e^{\frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{25}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = \frac{25}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 2}\right)^{2 x - 4} = e^{\frac{4}{3}}$$
Más detalles con x→-oo