Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(tres +x))^(- cuatro / cinco -x/ cinco)
- ((2 más x) dividir por (3 más x)) en el grado ( menos 4 dividir por 5 menos x dividir por 5)
- ((dos más x) dividir por (tres más x)) en el grado ( menos cuatro dividir por cinco menos x dividir por cinco)
- ((2+x)/(3+x))(-4/5-x/5)
- 2+x/3+x-4/5-x/5
- 2+x/3+x^-4/5-x/5
- ((2+x) dividir por (3+x))^(-4 dividir por 5-x dividir por 5)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(3-x))^(-4/5-x/5)
- ((2-x)/(3+x))^(-4/5-x/5)
- ((2+x)/(3+x))^(-4/5+x/5)
- ((2+x)/(3+x))^(4/5-x/5)
Límite de la función ((2+x)/(3+x))^(-4/5-x/5)
Solución
Ha introducido
[src]
4 x
- - - -
5 5
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
Limit(((2 + x)/(3 + x))^(-4/5 - x/5), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5} - \frac{1}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5}}}{\sqrt[5]{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt[5]{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5}}$$
=
$$\sqrt[5]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[5]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = e^{\frac{1}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5} - \frac{1}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5}}}{\sqrt[5]{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt[5]{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{5}}$$
=
$$\sqrt[5]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[5]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = e^{\frac{1}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = e^{\frac{1}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = e^{\frac{1}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{\sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{- \frac{x}{5} - \frac{4}{5}} = e^{\frac{1}{5}}$$
Más detalles con x→-oo