Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro + dos *x)/(uno + dos *x))^(cinco + tres *x)
- (( menos 4 más 2 multiplicar por x) dividir por (1 más 2 multiplicar por x)) en el grado (5 más 3 multiplicar por x)
- (( menos cuatro más dos multiplicar por x) dividir por (uno más dos multiplicar por x)) en el grado (cinco más tres multiplicar por x)
- ((-4+2*x)/(1+2*x))(5+3*x)
- -4+2*x/1+2*x5+3*x
- ((-4+2x)/(1+2x))^(5+3x)
- ((-4+2x)/(1+2x))(5+3x)
- -4+2x/1+2x5+3x
- -4+2x/1+2x^5+3x
- ((-4+2*x) dividir por (1+2*x))^(5+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-4-2*x)/(1+2*x))^(5+3*x)
- ((4+2*x)/(1+2*x))^(5+3*x)
- ((-4+2*x)/(1+2*x))^(5-3*x)
- ((-4+2*x)/(1-2*x))^(5+3*x)
Límite de la función ((-4+2*x)/(1+2*x))^(5+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + 3*x
/-4 + 2*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 2*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
Limit(((-4 + 2*x)/(1 + 2*x))^(5 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) - 5}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{2 x + 1} + \frac{2 x + 1}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2} - \frac{15 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{15 u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{15 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{15 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{15}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{15}{2}} = e^{- \frac{15}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = e^{- \frac{15}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) - 5}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{2 x + 1} + \frac{2 x + 1}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2} - \frac{15 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{15 u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{15 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{15 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{15}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{15}{2}} = e^{- \frac{15}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = e^{- \frac{15}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = e^{- \frac{15}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = -1024$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = -1024$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = \frac{256}{6561}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = \frac{256}{6561}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = e^{- \frac{15}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = -1024$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = -1024$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = \frac{256}{6561}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = \frac{256}{6561}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x - 4}{2 x + 1}\right)^{3 x + 5} = e^{- \frac{15}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico