Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{4} + 5 n^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\left(n^{2} + 5\right) - \frac{1}{n^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(n^{2} + 5\right) - 1}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{4} + 5 n^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{3} + 10 n}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4 n^{3} + 10 n\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(6 n^{2} + 5\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(6 n^{2} + 5\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)