Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro + tres *x)/(uno + tres *x))^(dos *x)
- (( menos 4 más 3 multiplicar por x) dividir por (1 más 3 multiplicar por x)) en el grado (2 multiplicar por x)
- (( menos cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (uno más tres multiplicar por x)) en el grado (dos multiplicar por x)
- ((-4+3*x)/(1+3*x))(2*x)
- -4+3*x/1+3*x2*x
- ((-4+3x)/(1+3x))^(2x)
- ((-4+3x)/(1+3x))(2x)
- -4+3x/1+3x2x
- -4+3x/1+3x^2x
- ((-4+3*x) dividir por (1+3*x))^(2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-4+3*x)/(1-3*x))^(2*x)
- ((-4-3*x)/(1+3*x))^(2*x)
- ((4+3*x)/(1+3*x))^(2*x)
Límite de la función ((-4+3*x)/(1+3*x))^(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
/-4 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
Limit(((-4 + 3*x)/(1 + 3*x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 1\right) - 5}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{3 x + 1}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 1}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3} - \frac{2}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{10}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 1\right) - 5}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{3 x + 1}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 1}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 1}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3} - \frac{2}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{10}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 1}\right)^{2 x} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico