Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (- dos + cinco ^x+ cinco ^(-x))/x^ dos
- ( menos 2 más 5 en el grado x más 5 en el grado ( menos x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos dos más cinco en el grado x más cinco en el grado ( menos x)) dividir por x en el grado dos
- (-2+5x+5(-x))/x2
- -2+5x+5-x/x2
- (-2+5^x+5^(-x))/x²
- (-2+5 en el grado x+5 en el grado (-x))/x en el grado 2
- -2+5^x+5^-x/x^2
- (-2+5^x+5^(-x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-2-5^x+5^(-x))/x^2
- (-2+5^x+5^(x))/x^2
- (2+5^x+5^(-x))/x^2
- (-2+5^x-5^(-x))/x^2
Límite de la función (-2+5^x+5^(-x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x\
|-2 + 5 + 5 |
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-2 + 5^x + 5^(-x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5^{- x} \left(5^{x} \left(5^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 5^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} - 2 \cdot 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{5^{x} x^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \cdot 5^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} - 2 \cdot 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{5^{x} x^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \cdot 5^{x} x}\right)$$
=
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5^{- x} \left(5^{x} \left(5^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 5^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} - 2 \cdot 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{5^{x} x^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \cdot 5^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} - 2 \cdot 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{5^{x} x^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \cdot 5^{x} x}\right)$$
=
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x -x\
|-2 + 5 + 5 |
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
2 log (5)
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
= 2.59029039398024
/ x -x\
|-2 + 5 + 5 |
lim |-------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
2 log (5)
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
= 2.59029039398024
= 2.59029039398024
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(5 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(5 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{16}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{16}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(5 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{16}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{16}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo