Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-2+5^x+5^(-x))/x^2

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /      x    -x\
     |-2 + 5  + 5  |
 lim |-------------|
x->0+|       2     |
     \      x      /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-2 + 5^x + 5^(-x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5^{- x} \left(5^{x} \left(5^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 5^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} - 2 \cdot 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{5^{x} x^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \cdot 5^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} - 2 \cdot 5^{x} \log{\left(5 \right)}}{5^{x} x^{2} \log{\left(5 \right)} + 2 \cdot 5^{x} x}\right)$$
=
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
     /      x    -x\
     |-2 + 5  + 5  |
 lim |-------------|
x->0+|       2     |
     \      x      /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
   2   
log (5)
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
= 2.59029039398024
     /      x    -x\
     |-2 + 5  + 5  |
 lim |-------------|
x->0-|       2     |
     \      x      /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right)$$
   2   
log (5)
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
= 2.59029039398024
= 2.59029039398024
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(5 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(5 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{16}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{16}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5^{x} - 2\right) + 5^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
   2   
log (5)
$$\log{\left(5 \right)}^{2}$$
Respuesta numérica [src]
2.59029039398024
2.59029039398024