Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(1-x)
-
Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +x)/(- uno +x))^(x^ dos /(tres +x))
- ((5 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado (x al cuadrado dividir por (3 más x))
- ((cinco más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado (x en el grado dos dividir por (tres más x))
- ((5+x)/(-1+x))(x2/(3+x))
- 5+x/-1+xx2/3+x
- ((5+x)/(-1+x))^(x²/(3+x))
- ((5+x)/(-1+x)) en el grado (x en el grado 2/(3+x))
- 5+x/-1+x^x^2/3+x
- ((5+x) dividir por (-1+x))^(x^2 dividir por (3+x))
-
Expresiones semejantes
- ((5+x)/(-1-x))^(x^2/(3+x))
- ((5+x)/(-1+x))^(x^2/(3-x))
- ((5+x)/(1+x))^(x^2/(3+x))
- ((5-x)/(-1+x))^(x^2/(3+x))
Límite de la función ((5+x)/(-1+x))^(x^2/(3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
2
x
-----
3 + x
/5 + x \
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
Limit(((5 + x)/(-1 + x))^(x^2/(3 + x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[4]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[4]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}} = e^{\frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{6}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[4]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[4]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}} = e^{\frac{\frac{\left(6 u + 1\right)^{2}}{6 u + 4} - \frac{1}{4}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = e^{6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = \infty \sqrt[4]{-6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = \infty \sqrt[4]{-6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x - 1}\right)^{\frac{x^{2}}{x + 3}} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo