Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+} \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 6 x + 9 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 6 x + 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\left(x - 3\right)^{2} \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 6 x + 9 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{\sqrt{1 - \left(x^{2} - 6 x + 9\right)^{2}}}$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 3^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)