Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(3 x^{9} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{14}{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(3 x^{9} \right)} \operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}{\sin^{14}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(3 x^{9} \right)} \operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}{\sin^{14}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x^{9} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{\sin^{14}{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{27 x^{8} \left(\tan^{2}{\left(3 x^{9} \right)} + 1\right)}{- \frac{5 x^{4} \sin^{14}{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - x^{10}} \operatorname{asin}^{2}{\left(x^{5} \right)}} + \frac{28 \sin^{13}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{27 x^{8}}{- \frac{5 x^{4} \sin^{14}{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - x^{10}} \operatorname{asin}^{2}{\left(x^{5} \right)}} + \frac{28 \sin^{13}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{27 x^{8}}{- \frac{5 x^{4} \sin^{14}{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - x^{10}} \operatorname{asin}^{2}{\left(x^{5} \right)}} + \frac{28 \sin^{13}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\operatorname{asin}{\left(x^{5} \right)}}}\right)$$
=
$$\frac{3}{16384}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)