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Suma de la serie/ ((3n-1)*(x-2)^(2n))/(n^2*9^n)

Suma de la serie ((3n-1)*(x-2)^(2n))/(n^2*9^n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                      
____                      
\   `                     
 \                     2*n
  \   (3*n - 1)*(x - 2)   
   )  --------------------
  /           2  n        
 /           n *9         
/___,                     
n = 1
∑n=1∞(3n−1)(x−2)2n9nn2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3 n - 1\right) \left(x - 2\right)^{2 n}}{9^{n} n^{2}} 
Sum(((3*n - 1)*(x - 2)^(2*n))/((n^2*9^n)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(3n−1)(x−2)2n9nn2\frac{\left(3 n - 1\right) \left(x - 2\right)^{2 n}}{9^{n} n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=9−n(3n−1)n2a_{n} = \frac{9^{- n} \left(3 n - 1\right)}{n^{2}}
y
x0=2x_{0} = 2
,
d=2d = 2
,
c=1c = 1
entonces
R2=2+lim⁡n→∞(9−n9n+1(n+1)2∣3n−1∣n2(3n+2))R^{2} = 2 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{9^{- n} 9^{n + 1} \left(n + 1\right)^{2} \left|{3 n - 1}\right|}{n^{2} \left(3 n + 2\right)}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R2=11R^{2} = 11
R=3.3166247903554R = 3.3166247903554
Respuesta [src] 
  //       /           2\      |        2|     \     //     /            2\                         \
  ||       |   (-2 + x) |      |(-2 + x) |     |     ||     |    (-2 + x) |                         |
  ||polylog|2, ---------|  for ----------- <= 1|     || -log|1 - ---------|   for And(x > -1, x < 5)|
  ||       \       9    /           9          |     ||     \        9    /                         |
  ||                                           |     ||                                             |
  ||  oo                                       |     ||  oo                                         |
  ||____                                       |     ||____                                         |
- |<\   `                                      | + 3*|<\   `                                        |
  || \     -n         2*n                      |     || \     -n         2*n                        |
  ||  \   9  *(-2 + x)                         |     ||  \   9  *(-2 + x)                           |
  ||   )  ---------------       otherwise      |     ||  /   ---------------        otherwise       |
  ||  /           2                            |     || /           n                               |
  || /           n                             |     ||/___,                                        |
  ||/___,                                      |     ||n = 1                                        |
  \\n = 1                                      /     \\                                             /
3({−log⁡(1−(x−2)29)for x>−1∧x<5∑n=1∞9−n(x−2)2nnotherwise)−{Li⁡2((x−2)29)for ∣(x−2)2∣9≤1∑n=1∞9−n(x−2)2nn2otherwise3 \left(\begin{cases} - \log{\left(1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{9} \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 5 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9^{- n} \left(x - 2\right)^{2 n}}{n} & \text{otherwise} \end{cases}\right) - \begin{cases} \operatorname{Li}_{2}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{9}\right) & \text{for}\: \frac{\left|{\left(x - 2\right)^{2}}\right|}{9} \leq 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9^{- n} \left(x - 2\right)^{2 n}}{n^{2}} & \text{otherwise} \end{cases} 
-Piecewise((polylog(2, (-2 + x)^2/9), Abs((-2 + x)^2)/9 <= 1), (Sum(9^(-n)*(-2 + x)^(2*n)/n^2, (n, 1, oo)), True)) + 3*Piecewise((-log(1 - (-2 + x)^2/9), (x > -1)∧(x < 5)), (Sum(9^(-n)*(-2 + x)^(2*n)/n, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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