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Suma de la serie arcsin(n+1/n^2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo              
____              
\   `             
 \        /    1 \
  \   asin|n + --|
  /       |     2|
 /        \    n /
/___,             
n = 1             
n=1asin(n+1n2)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{asin}{\left(n + \frac{1}{n^{2}} \right)}
Sum(asin(n + 1/(n^2)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
asin(n+1n2)\operatorname{asin}{\left(n + \frac{1}{n^{2}} \right)}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=asin(n+1n2)a_{n} = \operatorname{asin}{\left(n + \frac{1}{n^{2}} \right)}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limnasin(n+1n2)asin(n+1+1(n+1)2)1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\operatorname{asin}{\left(n + \frac{1}{n^{2}} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(n + 1 + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} \right)}}}\right|
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limnasin(n+1n2)asin(n+1+1(n+1)2)R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\operatorname{asin}{\left(n + \frac{1}{n^{2}} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(n + 1 + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{2}} \right)}}}\right|
Respuesta [src]
  oo              
____              
\   `             
 \        /    1 \
  \   asin|n + --|
  /       |     2|
 /        \    n /
/___,             
n = 1             
n=1asin(n+1n2)\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{asin}{\left(n + \frac{1}{n^{2}} \right)}
Sum(asin(n + n^(-2)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie