Sr Examen

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Suma de la serie ((x-2)^n)/(n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \           n
  \   (x - 2) 
  /   --------
 /     n + 1  
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 2\right)^{n}}{n + 1}$$
Sum((x - 2)^n/(n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x - 2\right)^{n}}{n + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{n + 1}$$
y
$$x_{0} = 2$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = 2 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = 3$$
$$R = 3$$
Respuesta [src]
//     x\ /    2      2*log(3 - x)\                        
||-1 + -|*|- ------ - ------------|  for And(x >= 1, x < 3)
|\     2/ |  -2 + x            2  |                        
|         \            (-2 + x)   /                        
|                                                          
|           oo                                             
|         ____                                             
<         \   `                                            
|          \            n                                  
|           \   (-2 + x)                                   
|           /   ---------                  otherwise       
|          /      1 + n                                    
|         /___,                                            
|         n = 1                                            
\                                                          
$$\begin{cases} \left(\frac{x}{2} - 1\right) \left(- \frac{2}{x - 2} - \frac{2 \log{\left(3 - x \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) & \text{for}\: x \geq 1 \wedge x < 3 \\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x - 2\right)^{n}}{n + 1} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Piecewise(((-1 + x/2)*(-2/(-2 + x) - 2*log(3 - x)/(-2 + x)^2), (x >= 1)∧(x < 3)), (Sum((-2 + x)^n/(1 + n), (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie