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sin(2^n)^2/n^2

Suma de la serie sin(2^n)^2/n^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \       2/ n\
  \   sin \2 /
   )  --------
  /       2   
 /       n    
/___,         
n = 1         
n=1sin2(2n)n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}{\left(2^{n} \right)}}{n^{2}}
Sum(sin(2^n)^2/n^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
sin2(2n)n2\frac{\sin^{2}{\left(2^{n} \right)}}{n^{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=sin2(2n)n2a_{n} = \frac{\sin^{2}{\left(2^{n} \right)}}{n^{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)2sin2(2n)1sin2(2n+1)n2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(2^{n} \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2^{n + 1} \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=limn((n+1)2sin2(2n)1sin2(2n+1)n2)R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(2^{n} \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2^{n + 1} \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.50.51.5
Gráfico
Suma de la serie sin(2^n)^2/n^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie