Sr Examen

Lang:

Suma de la serie sin(2^n)^2/n^2

Ha introducido [src]

  oo          
____          
\   `         
 \       2/ n\
  \   sin \2 /
   )  --------
  /       2   
 /       n    
/___,         
n = 1

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2}{\left(2^{n} \right)}}{n^{2}}

Sum(sin(2^n)^2/n^2, (n, 1, oo))

Radio de convergencia de la serie de potencias

Se da una serie:

\frac{\sin^{2}{\left(2^{n} \right)}}{n^{2}}

Es la serie del tipo

a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}

- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:

R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}

En nuestro caso

a_{n} = \frac{\sin^{2}{\left(2^{n} \right)}}{n^{2}}

x_{0} = 0

d = 0

c = 1

entonces

1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(2^{n} \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2^{n + 1} \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)

R^{0} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(2^{n} \right)} \left|{\frac{1}{\sin^{2}{\left(2^{n + 1} \right)}}}\right|}{n^{2}}\right)

Velocidad de la convergencia de la serie

Gráfico