Se da una serie:
$$\frac{\left(-1\right)^{n} 4^{n}}{10^{4 n + 1} \left(4 n + 1\right) \left(2 n\right)!}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\left(-1\right)^{n} 10^{- 4 n - 1}}{\left(4 n + 1\right) \left(2 n\right)!}$$
y
$$x_{0} = -4$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 0$$
entonces
$$R = \tilde{\infty} \left(-4 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{10^{- 4 n - 1} \cdot 10^{4 n + 5} \left(4 n + 5\right) \left|{\frac{\left(2 n + 2\right)!}{\left(2 n\right)!}}\right|}{4 n + 1}\right)\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = \infty$$
$$R = \infty$$