Sr Examen

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Suma de la serie ln(2+k/n)/n



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo            
____            
\   `           
 \       /    k\
  \   log|2 + -|
   )     \    n/
  /   ----------
 /        n     
/___,           
n = 1           
n=1log(kn+2)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log{\left(\frac{k}{n} + 2 \right)}}{n}
Sum(log(2 + k/n)/n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
log(kn+2)n\frac{\log{\left(\frac{k}{n} + 2 \right)}}{n}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=log(kn+2)na_{n} = \frac{\log{\left(\frac{k}{n} + 2 \right)}}{n}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((n+1)log(kn+2)log(kn+1+2)n)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left|{\frac{\log{\left(\frac{k}{n} + 2 \right)}}{\log{\left(\frac{k}{n + 1} + 2 \right)}}}\right|}{n}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=1R^{0} = 1

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie