Sr Examen

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Suma de la serie sin(pi*(n^2+k^2)^(0,5))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                      
 ___                      
 \  `                     
  \      /      _________\
   )     |     /  2    2 |
  /   sin\pi*\/  n  + k  /
 /__,                     
n = 1                     
$$\sum_{n=1}^{\infty} \sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}$$
Sum(sin(pi*sqrt(n^2 + k^2)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}}{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + \left(n + 1\right)^{2}} \right)}}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + n^{2}} \right)}}{\sin{\left(\pi \sqrt{k^{2} + \left(n + 1\right)^{2}} \right)}}}\right|$$

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie