Sr Examen

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(-1^n)/(n*ln(n)+1)^2

Suma de la serie (-1^n)/(n*ln(n)+1)^2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \            n      
  \         -1       
   )  ---------------
  /                 2
 /    (n*log(n) + 1) 
/___,                
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right) 1^{n}}{\left(n \log{\left(n \right)} + 1\right)^{2}}$$
Sum((-1^n)/(n*log(n) + 1)^2, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(-1\right) 1^{n}}{\left(n \log{\left(n \right)} + 1\right)^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = - \frac{1}{\left(n \log{\left(n \right)} + 1\right)^{2}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\left(\left(n + 1\right) \log{\left(n + 1 \right)} + 1\right)^{2} \left|{\frac{1}{\left(n \log{\left(n \right)} + 1\right)^{2}}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                 
____                 
\   `                
 \          -1       
  \   ---------------
  /                 2
 /    (1 + n*log(n)) 
/___,                
n = 1                
$$\sum_{n=1}^{\infty} - \frac{1}{\left(n \log{\left(n \right)} + 1\right)^{2}}$$
Sum(-1/(1 + n*log(n))^2, (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie (-1^n)/(n*ln(n)+1)^2

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie